Generazioni di processi aleatori

I linguaggi di programmazione ci permettono di generare e rappresentare processi aleatori come ad esempio il moto browniano In questo articolo vedremo e mostreremo come generare processi aleatori, come ad esempio il moto browniano applicandoli all'ambito finanziario.

Il moto Browniano (Brownian motion)

Il moto browniano è sicuramente il più importante tra i processi stocastici presi in esame. Il suo nome si deve al  lavoro del botanico R. Brown, è in realtà A. Einstein. Ricordiamo che il moto Browniano standard è definito come un processo stocastico che parte nell’origine, i cui incrementi sono indipendenti e distribuiti come una Normale di media nulla e varianza pari all’ampiezza dell’incremento. Alcune proprietà immediate sono la continuità e la non differenziabilità  delle traiettorie. 

Se rappresentassimo il moto Browniano standard unidimensionale noteremmo un’impressionante analogia con i grafici di borsa e ciò non è un caso, esistono infatti molti risultati teorici che collegano questo importante processo in tempo continuo all’evoluzione di alcuni strumenti finanziari come le opzioni. Questo processo è spesso usato in modelli finanziari per descrivere l'evoluzione dei prezzi nel tempo. Quando viene applicato ai prezzi, il moto browniano presuppone che il passaggio da un periodo all'altro non sono associati con il livello di prezzi oppure a serie storiche delle variazioni dei prezzi e i processi dei prezzi sono indipendenti e incorrelati. Cioè, ogni variazione di prezzo è indipendente dalle variazioni di prezzo del passato e la volatilità delle variazioni dei prezzi è costante. 

Random Walk

La passeggiata aleatoria, è il modello base utilizzato per descrivere i movimenti dei prezzi azionari nei principali modelli di gestione del rischio. È una successione di variabili aleatorie con uguale distribuzione di probabilità e indipendenti l'una dall'altra.

Un esempio elementare di una passeggiata aleatoria semplice è la  distribuzione di Bernoulli che assume il valore 1 con probabilità p ( un passo verso destra) e -1 con probabilità 1 - p (un passo verso sinistra) ad ogni passo. Un semplice, discreta, piedi unidimensionale senza pregiudizi la stessa probabilità di andare a destra che a sinistra, vale a dire  .

Se sono fatti N realizzazioni, allora abbiamo una distribuzione binomiale:

La distribuzione di probabilità è:

 

Serie storica 

Si definisce come un insieme di variabili casuali ordinate rispetto al tempo, ed esprime la dinamica di un certo fenomeno nel tempo. Le serie storiche vengono studiate sia per interpretare un fenomeno, individuando componenti di trend, di ciclicità, di stagionalità e/o di accidentalità, sia per prevedere il suo andamento futuro.

In generale, per serie si intende la classificazione di diverse osservazioni di un fenomeno rispetto ad un carattere qualitativo. Se tale carattere è il tempo, la serie viene detta storica o temporale.
Il fenomeno osservato, detto variabile, può essere osservato in dati istanti di tempo (variabile di stato: numero dei dipendenti di un'azienda, quotazione di chiusura di un titolo negoziato in borsa, livello di un tasso di interesse ecc.) o alla fine di periodi di lunghezza definita (variabili di flusso: vendite annuali di un'azienda, PIL trimestrale ecc.).
Indicando con Y il fenomeno, si indica con Y_t un'osservazione al tempo t, potendo t variare da 1 a T, dove T è il numero complessivo degli intervalli o dei periodi temporali considerati.
In generale una serie storica è così definita y_t={y₁,y₂,y₃,....,y_T};la serie storica avrà dimensione T.

Trasformazione di Box-Muller

È un metodo per generare coppie di numeri casuali indipendenti e distribuiti gaussianamente con media nulla e varianza uno.

La trasformazione viene comunemente espressa in due forme. La forma principale è quella del lavoro originale: si campionano due numeri dalla distribuzione uniforme sull'intervallo  e si ricavano due numeri distribuiti normalmente. La forma polare campiona due numeri su un intervallo differente () e permette di ricavare due numeri distribuiti normalmente senza l'uso delle funzioni seno e coseno.

FORMA BASE 

Siano  e  due variabili aleatorie indipendenti ed uniformemente distribuite nell'intervallo . Sia

  

e

Allora Z₀ e Z₁ sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzione normale di deviazione standard unitaria.

La dimostrazione è basata sul fatto che, in un sistema cartesiano bidimensionale nel quale le coordinate X e Y sono descritte da due variabili casuali indipendenti normalmente distribuite, le variabili casuali R² e  nelle corrispondenti coordinate polari sono a loro volta indipendenti e possono essere espresse come  e